לוח הסילוקין של הלוואת "שפיצר"

אחד הדברים שלווי משכנתא מתקשים להבין לעומקו הוא התופעה שמצד אחד לוח הסילוקין של הלוואת "שפיצר" הוא בעל תשלום חודשי קבוע, ומצד שני הרכב התשלום - חלוקתו בין תשלום ריבית לבין החזר הקרן - משתנה מחודש לחודש. עכשיו, שנושא המתמטיקה של המשכנתא מוכר לנו, נוכל לחקור לעומק את התנהגות הגדלים השונים.

בניית לוח הסילוקין של משכנתא

תשלום ראשון
ביום נטילת ההלוואה נקבע התשלום החודשי שלה (PMT) לפי גודלה (PV), שיעור הריבית בהלוואה (i) ותקופת ההלוואה (n). נניח שמדובר בהלוואה בסכום של 100 אלף ש"ח (PV=100,000) לתקופה של 20 שנים (n=20) והריבית השנתית בהלוואה היא 6%. התשלום החודשי בהלוואה זו הוא 716.43 ש"ח.

איזה חלק מסכום זה הוא תשלום הריבית? תשלום הריבית הוא מכפלה של שיעור הריבית ביתרת החוב בתחילת החודש. שיעור הריבית החודשי הוא 6/12=0.5%, ולכן תשלום הריבית הוא 500 ש"ח: 0.5%*100,000=500.

איזה חלק מהתשלום החודשי הוא החזר קרן? זהו פשוט ההפרש שבין התשלום החודשי לבין החלק המהווה תשלום ריבית: 716.43-500=216.43 ש"ח.

תשלום שני

בתום החודש השני הגיע מועד התשלום השני. מאחר שזוהי הלוואה עם תשלומים קבועים, גם התשלום השני הוא ע"ס 716.43 ש"ח, וכך יהיה כל חודש במשך 240 חודש עד לתום תקופת ההלוואה.

איזה חלק מהתשלום החודשי בחודש השני הוא תשלום ריבית? שיעור הריבית החודשי נותר 0.5%, אבל יתרת החוב קטנה מהחודש הקודם כיון שהתשלום בסוף החודש הראשון כלל כאמור גם החזר קרן ע"ס 216.43 ש"ח, ולכן יתרת החוב היא עתה 99,783.57 ש"ח. תשלום הריבית בחודש השני יצטמצם בהתאם, ויעמוד על: 0.5%*99,783.57=498.92 ש"ח.

איזה חלק מהתשלום בחודש השני הוא החזר קרן? שוב, זהו ההפרש שבין התשלום החודשי (שלא השתנה) לבין תשלום הריבית (שירד): 716.43-498.92=217.51 ש"ח.

שאר התשלומים

התשלום השלישי יישאר כמובן ללא שינוי - 716.43 ש"ח - והרכבו יהיה שוב שונה מהרכב התשלום הקודם: מאחר שיתרת החוב קטנה בתוך חודשיים ל-99,566.06 ש"ח - תשלום הריבית יקטן ל-0.5%*99,566.06=497.83 ש"ח, והחזר הקרן יגדל ל-218.60 ש"ח.

חישוב התשלומים יימשך כך: יתרת החוב תרד בהדרגה, ואיתה גם תשלומי הריבית. מאחר שהתשלומים הכוללים קבועים לכל אורך חיי ההלוואה - החלק שמהווה החזר קרן ילך ויגדל. בצורה זו אנו מקבלים האצה של קצב החזר הקרן לאורך זמן. המסקנה היא שבהלוואה עם לוח סילוקין של תשלומים קבועים אנו משלמים בתחילת הדרך בעיקר תשלומי ריבית, ובהדרגה התשלומים הופכים להיות יותר ויותר החזר קרן. נקודה נוספת שבולטת כאן שבהלוואה עם לוח סילוקין "שפיצר" הריבית משולמת במלואה באופן שוטף ואין צבירת ריבית.

דוגמא של לוח הסילוקין

להלן טבלה ובה דוגמא ללוח הסילוקין של הלוואת "שפיצר" בסך 100,000 ש"ח שניתנה לתקופה של 20 שנים בריבית 6%. הטבלה כוללת את הנתונים לחמשת החודשים הראשונים ולחמשת החודשים האחרונים של חיי ההלוואה. עמודות הטבלה הן מספר החודש, יתרת החוב בתחילת החודש, התשלום החודשי (קבוע לכל אורך חיי ההלוואה), תשלום הריבית (מכפלה של שיעור הריבית ביתרת החוב בתחילת החודש), והחזר הקרן (חלק התשלום שמעבר לתשלום הריבית.

תקופה	יתרת חוב תחילת תקופה	תשלום חודשי	מזה: ריבית	מזה: קרן
1	100,000.00	716.43	500.00	216.43
2	99,783.57	716.43	498.92	217.51
3	99,566.06	716.43	497.83	218.60
4	99,347.45	716.43	496.74	219.69
5	99,127.76	716.43	495.64	220.79
	.	.	.	.
	.	.	.	.
	.	.	.	.
	.	.	.	.
236	3,529.04	716.43	17.65	698.79
237	2,830.26	716.43	14.15	702.28
238	2,127.98	716.43	10.64	705.79
239	1,422.19	716.43	7.11	709.32
240	712.87	716.43	3.56	712.87

הצגה גרפית

ההמחשה הנוחה ביותר של השתנות הרכבו של התשלום החודשי על-פני זמן היא באמצעות תיאור גרפי. להלן גרף של השתנות זו:

תשלום הריבית הוא החלק התחתון, המצוייר בצבע כחול. תשלום הריבית פוחת לאורך זמן, כמו היתרה. החלק העליון, המוצג כאן בצבע ורוד, הוא החזר הקרן. כאמור, חלק זה של התשלום הולך וגדל לאורך זמן.

מהו הקשר בין תקופת ההלוואה לבין גובה התשלום החודשי?

לאחר שהבנו את המתמטיקה הבסיסית של המשכנתא (ראו רשימות אחרונות), אנחנו יכולים לחקור כיצד משפיעה תקופת ההלוואה על גובה התשלום החודשי בהלוואה עם לוח סילוקין "שפיצר" (תשלומים חודשיים שווים של קרן וריבית).

בחזרה לקבוע המשכנתא

כפי שראינו ברשימה קודמת, היחס בין התשלום החודשי (PMT) לבין גודל ההלוואה (PV) נקרא "קבוע המשכנתא" (MC) והוא נקבע ע"י שני גורמים: שיעור הריבית השנתי בהלוואה (i) ותקופת ההלוואה בשנים (n). נוסחת קבוע המשכנתא היא:

ברשימה הקודמת חקרנו את השפעת שיעור הריבית (i) על גובה התשלום החודשי; ברשימה זו נחקור את השפעת תקופת ההלוואה (n) על התשלום החודשי.

דוגמאות: ערכי קבוע המשכנתא
נניח ששיעור הריבית השנתי בהלוואה הוא  6%. אם נציב ערך זה בנוסחת קבוע המשכנתא נקבל:

ערכו של קבוע המשכנתא תלוי כעת רק בתקופת ההלוואה (n). לדוגמא: אם תקופת ההלוואה היא 10 שנים - ערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0111021; אם תקופת ההלוואה היא 20 שנים - ערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0073608; אם תקופת ההלוואה היא 30 שנים - ערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0059955.

דוגמאות: גודל התשלום החודשי
קבוע המשכנתא הוא היחס (הקבוע) בין גודל התשלום החודשי לבין גודל ההלוואה.מכאן שבהינתן קבוע משכנתא (תקופה ושיעור ריבית) נוכל לגזור את  גודל התשלום החודשי מגודל ההלוואה: התשלום החודשי הוא מכפלה של קבוע המשכנתא בגודל ההלוואה. לכן נוכל להשתמש בדוגמאות לעיל כדי לגזור את גובה התשלומים החודשיים עבור הלוואה של 100,000 ש"ח כפונקציה של תקופת ההלוואה: אם תקופת ההלוואה היא 10 שנים - גובה התשלום החודשי הוא 1,110.21 ש"ח; אם תקופת ההלוואה היא 20 שנים - גובה התשלום החודשי הוא 736.08 ש"ח; אם תקופת ההלוואה היא 30 שנים - גובה התשלום החודשי הוא 599.55 ש"ח.

הצגה גרפית של היחס בין תקופת ההלוואה לבין התשלום החודשי

נוח להבין את אופי הקשר שבין תקופת ההלוואה לבין גובה התשלום החודשי ע"י שימוש בתיאור גרפי. נניח כאן שוב ששיעור הריבית השנתי הוא 6%, וגובה ההלוואה הוא 100,000 ש"ח. היחס מתואר בגרף הבא:

מה ניתן ללמוד מן הגרף?

הדבר הראשון שאנו רואים מהגרף הוא שקיים קשר שלילי בין תקופת ההלוואה לבין גובה התשלום החודשי: ככל שההלוואה נפרסת לתקופה ארוכה יותר - כך קטן התשלום החודשי. זו איננה הפתעה: זוהי בדיוק הסיבה שהלווים נוטים להאריך את תקופת ההלוואה.

הדבר השני שאנו למדים מהגרף הוא שהשפעת הארכת התקופה על גובה התשלום הולכת ונחלשת ככל שהתקופה ארוכה יותר: כשאנו מאריכים את תקופת ההלוואה מ-5 ל-10 שנים - התשלום החודשי יורד מ-1,933.28 ל-1,110.21ש"ח - ירידה של כ-823 ש"ח (43%); כשאנו מאריכים באותה מידה (5 שנים) את תקופת ההלוואה בהלוואה ארוכת-טווח, מ-25 ל-30 שנים - התשלום החודשי יורד רק בכ-45 ש"ח (7%), מ-644.30 ל-599.55 ש"ח.

מה גורם לצורה של העקומה?
מה סיבת תופעה זו? הסיבה היא שירידת התשלום נובעת רק מכך שאנו פורסים את החזר הקרן לתקופה ארוכה יותר - תשלומי הריבית אינם מושפעים מהפריסה. כדי להבין זאת נחשוב שהיינו יכולים לכאורה להאריך את תקופת ההלוואה עד לאינסוף, ובכך להקטין את התשלום החודשי למינימום: אם נסתכל בביטוי לעיל, ערך קבוע המשכנתא יתכנס אז ל- 0.005, ולכן התשלום החודשי ירד ל-500 ש"ח, כלומר לתשלום הריבית בלבד. "ריצפת" התשלום היא תשלום הריבית, והיא תושג אם נאריך את תקופת ההלוואה לאינסוף.

מסקנה: מתי הארכת התקופה אפקטיבית?
הארכת תקופת ההלוואה מסייעת אמנם להקטנת התשלום החודשי. זוהי הסיבה שתקופות ההלוואה בהלוואות המשכנתא בארה"ב התארכו בהדרגה לאורך השנים, כשבכך מתאפשר ללווה ליטול הלוואות גדולות יותר. אלא שהשפעת הפריסה מוגבלת: היא משמעותית במעבר בין 10 שנים ל-20 שנים, אבל היא הולכת ונמוגה ככל שתקופת ההלוואה ארוכה יותר. זוהי גם הסיבה לכך שהלוואת המשכנתא המקובלת ברוב העולם היא לטווחים של 20-30 שנים: הארכת תקופת ההלוואה מעבר לכך (לדוגמא: 50 שנים) כמעט ולא הייתה מקטינה את גובה התשלום החודשי.

 מה קורה כששיעור הריבית אינו אדיש לתקופת ההלוואה?
הדיון עד כאן התנהל בהנחה שהריבית על המשכנתא אינה מושפעת מתקופת ההלוואה: בדוגמא המספרית לעיל, שיעור הריבית על ההלוואה הוא 6% בין אם מדובר בהלוואה ל-5 שנים ובין אם מדובר בהלוואה לתקופה ארוכה יותר - 20 או 30 שנים. למרות שמצב כזה יכול לשרור לתקופת זמן מוגבלת, בדרך כלל קיים קשר בין שיעור הריבית לבין תקופת ההלוואה. המשמעות היא שיכולתנו להקטין את התשלום החודשי ע"י הארכת תקופת ההלוואה תלויה בשאלה מהו הקשר שבין הריבית על ההלוואה לבין תקופת ההלוואה.

מושג חדש: עקום התשואה
קיים קשר בין תקופת חוב לבין שיעור הריבית עליו. קשר זה הוא בדרך כלל חיובי: ככל שתקופת החוב ארוכה יותר - הריבית עליו תהיה גבוהה יותר. תופעה זו נובעת מרצונם של בעלי החוב (מפקידים) לקבל פיצוי על העובדה שהסיכון לקבל את כספם חזרה עולה ככול שהם משקיעים (נותנים הלוואה) לזמן ארוך יותר. לקשר בין תקופת ההלוואה (או משך החיים הממוצע שלה) לבין שיעור הריבית עליה קוראים "עקום התשואה" (Yield Curve). במשק מודרני קיימים מספר עקומי תשואה, כשכל אחד מתאר את המציאות בשוק הון ספציפי. כך, קיימים זה לצד זה עקום תשואה חסרת סיכון (תשואה על איגרות חוב ממשלתיות), עקום תשואה על פיקדונות בבנקים ועקום תשואה על הלוואות משכנתא.

מהי צורתו של עקום התשואה על משכנתאות?

נסתכל בנתוני הבנקים למשכנתאות בישראל כפי שפורסמו ע"י בנק ישראל לסוף אוגוסט 2010 (ההלוואות הצמודות למדד המחירים לצרכן):

תקופת ההלוואה (שנים)	ריבית ממוצעת בבנקים (%)
עד 5	2.03
5 עד 12	2.03
12 עד 15	2.51
15 עד 17	2.56
17 עד 20	3.01
מעל 20	3.34

מהן ההשלכות של שיפוע עקום התשואה?
נניח עכשיו שאנו רוצים ללמוד את הקשר האפקטיבי בין תקופת ההלוואה (n) לבין התשלום החודשי (PMT), זה הלוקח בחשבון את העובדה שפריסה ארוכה יותר של ההלוואה מכריחה אותו לשלם לבנק שיעור ריבית גבוה יותר. לצורך ההשוואה נשתמש בגרף שבו נשווה בין מצב שבו הריבית אינה רגישה לתקופת ההלוואה (נשתמש כאן בשיעור הריבית הממוצע באוגוסט 2010, שהיה 2.19%) לבין מצב שבו הריבית על ההלוואה היא פונקציה חיובית של תקופת ההלוואה (נתוני בנק ישראל, מוחלקים). להלן ההשוואה (ההלוואה היא בסכום של 100,000 ש"ח, והגרף מתרכז בטווחים בהם שיעור הריבית מגיב לאורך התקופה - מעבר ל-10 שנים):

הקו התחתון משקף מצב שבו ריבית המשכנתא אדישה לתקופת ההלוואה. הקו העליון כולל בתוכו את השפעת עקום התשואה הנוכחי (אוגוסט 2010) של ענף המשכנתאות. אנו רואים כאן שהשיפוע החיובי של עקום התשואה (העובדה שיש קשר חיובי בין תקופת ההלוואה לבין הריבית עליה) מקזז חלק מהתועלת שיש ללווה מפריסה ארוכה יותר של ההלוואה: הוא נדרש לשלם שיעור ריבית גבוה יותר.

האם זהו תיאור מייצג של שוק המשכנתאות הישראלי?
עד כמה מציאותי הגרף שהובא כאן? נתוני בנק ישראל לחודש אוגוסט 2010 משקפים רמה נמוכה היסטורית של ריבית; לכן מיקומו האנכי של עקום התשואה בעת האחרונה הוא נמוך בהשוואה לעבר. לעומת זאת, שיפוע עקום התשואה מתיישב עם הדפוסים ההיסטוריים, כך שהתיאור העקרוני של השפעת העקום על יכולת הלווה להקטין את תשלומיו ע"י פריסה ארוכה יותר - הוא כנראה נכון.

הערה אחרונה

התיאור הגרפי לעיל נעשה עפ"י נתונים מעודכנים לגבי המשכנתאות בישראל בחודש אוגוסט 2010, אבל נתונים אלו הוחלקו כדי להקל על הקורא לראות את כיוון ההשפעה של עקום התשואה. למעשה, כפי שניתן לראות מהטבלה שפירסם בנק ישראל, גרף הריבית של המשכנתאות (עקום התשואה) אינו גרף מונוטוני עולה אלא גרף מדרגות (ריבית המשכנתאות המתפרסמת קבועה בטווח שנים מסויים, ועולה בנקודת סוף הטווח למדרגה חדשה). אילו חישבנו את צורתו של של הקשר שבין תקופת ההלוואה לבין גובה התשלום החודשי - היינו יכולים לקבל גרף שאינו מונוטוני רציף, כלומר גרף שבו תשלום החודשי עולה (במקום לרדת) בנקודות המעבר מטווח שנים אחד למשנהו.

מהו הקשר בין שיעור הריבית בהלוואה לבין גובה התשלום החודשי?

עכשיו, כשאנחנו מכירים כבר את המתמטיקה הבסיסית של המשכנתא (ראו כאן, כאן וכאן), נוכל להבין בצורה יסודית יותר את הקשר שבין שיעור הריבית בהלוואת משכנתא מסוג "שפיצר" (תשלומים חודשיים קבועים של קרן וריבית) לבין גובה התשלום החודשי.

קבוע המשכנתא
ראינו שנוסחת "קבוע המשכנתא" ("Mortgage Constant") היא הבאה:

כאשר PMT הוא התשלום החודשי, PV הוא גודל ההלוואה, i הוא שיעור הריבית השנתי ו- n הוא תקופת ההלוואה (בשנים). המשמעות היא שקבוע המשכנתא נקבע ע"י i ו-n. כדי לחשב את גודל התשלום החודשי בהלוואה עלינו להוסיף גם את גודל ההלוואה.

נניח שמדובר בהלוואה  לתקופה של 20 שנים. נציב n=20, והביטוי שנקבל הוא:

כעת ערכו של קבוע המשכנתא תלוי רק בשיעור הריבית. אם נציב בנוסחה זו ריבית של 1% נקבל שערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0045989. אם נציב בנוסחה זו 3% נקבל שערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0055460. אם נציב בנוסחא זו 5% נקבל שערכו של קבוע המשכנתא הוא 0.0065996.

מקבוע המשכנתא לגודל התשלום
בהינתן קבוע המשכנתא - החישוב של התשלום החודשי הוא פשוט: הכפלה של קבוע המשכנתא בגודל ההלוואה.
כך, לדוגמא, עבור כל 100,000 ש"ח הלוואה יהיה התשלום החודשי 459.89 ש"ח אם הריבית השנתית היא 1%, 554.60 ש"ח אם הריבית השנתית היא 3%, ו- 659.96 ש"ח אם הריבית השנתית היא 5%.

אנו רואים שהקשר אינו ליניארי: כשמשלשים את שיעור הריבית ( מ-1% ל-3%) - התשלום החודשי גדל רק בכ-20%. יותר מזה: אם שיעור הריבית בהלוואה הוא 0% - התשלום החודשי יהיה 416.67 ש"ח, ואם שיעור הריבית הוא 7% - התשלום החודשי יהיה 775.30 ש"ח. אלא שהדבר אינו צריך להפתיע אותנו: התשלום החודשי כולל לא רק תשלום ריבית, אלא גם החזר קרן. שיעור הריבית משפיע בעיקר על תשלומי הריבית ופחות על החזרי הקרן. במקרה הקיצוני שבו הריבית בהלוואה היא 0% - התשלום החודשי הוא פשוט החזר הקרן: חלוקת סכום ההלוואה הכולל ל- 240 תשלומים שווים.


תיאור גרפי
מהו אם-כן התיאור המלא של הקשר בין שיעור הריבית השנתי לבין קבוע המשכנתא? נציג זאת בגרף הבא, כשלצורך המחשה נוחה של הסכומים הנחנו שמדובר בהלוואה של 100,000 ש"ח (כלומר: זהו ערך קבוע המשכנתא מוכפל ב-100,000):

הנקודה שבה הקו "חותך" את ציר ה-Y (התשלומים) מציגה את התשלום במצב שבו שיעור הריבית בהלוואה הוא 0%  (כאמור: 416.67 ש"ח). העובדה שהקו אינו יוצא מראשית הצירים היא הדגמה של העובדה שהתשלום החודשי אינו פרופורציונלי לגובה הריבית.

שתי תובנות
שתי תובנות עולות כאן. הראשונה נוגעת להשפעת הריבית על כח הקנייה של הלווה: בעולם שבו הלוואות המשכנתא הן ברובן הלוואות בריבית קבועה, כמקובל בארה"ב, ירידת שיעור הריבית פירושה שמשק הבית משלם פחות על גודל הלוואה נתון. קל לו יותר, לכן, לעמוד בתשלום החודשי. הדבר מאפשר למשקי בית נוספים, חלשים יותר, להגיע לדיור בבעלותם בעזרת הלוואה לרכישת דיור. מעבר לכך, משק הבית יכול להחליט להקצות את אותו הסכום החודשי לתשלומי המשכנתא, כשבכך הוא מנצל את ירידת הריבית להגדלת הלוואת המשכנתא ולכן לרכישת בית יקר יותר. דבר זה אינו צריך להפתיע: ירידת הריבית פועלת לטובת רוכשי הבתים, במידה רבה משקי בית צעירים, ולרעת משקי בית מבוססים, שחסכונותיהם הם המקור להעמדת ההלוואות ושהכנסותיהם מהחיסכון הפיננסי נפגעות.


הנקודה השנייה נוגעת לתרחישים בעייתיים שקיימים בעולם שבו ההלוואות ניתנות בעיקר בריבית משתנה. בעולם כזה - וזהו המצב בשנים האחרונות בישראל, עליית שיעור הריבית גורמת לחישוב מחדש של קבוע המשכנתא באמצע תקופת ההלוואה, ולכן להעלאת התשלום החודשי. מאחר שמדובר בהעלאת גובה התשלום החודשי ללא שחל שינוי מקביל בהכנסת הלווה - תרחיש כזה מגדיל את הנטל על משקי הבית ועלול להביא אותם למצוקה. זהו פשר הידיעות שאנו קוראים מעת לעת על סיכון האשראי הגלום בתהליך היציאה מהמיתון הכלכלי, תהליך שילווה כנראה בעלייה של שיעורי הריבית.

בנה במו ידיך
ולבסוף, עצה: הלווה צריך לקחת בחשבון ששיעורי הריבית יעלו בשנים הקרובות, ושקיימת אפשרות שהעלייה תהיה משמעותית. המשמעות היא שיש לחשב מה יקרה לקבוע המשכנתא שלו (להחזר החודשי שלו) בתרחישים שונים לגבי שיעור הריבית. החישובים אינם עניין מסובך: בכל גיליון חישובים אלקטרוני קיימות פונקציות מובנות ונוחות לתפעול, כך שכמעט כל אחד יכול לבצע את החישובים בכוחות עצמו.

המתמטיקה של המשכנתא: ג. יחסים בין המשתנים בהלוואה

בשתי הרשימות האחרונות סקרנו את עקרונות ההיוון ואת ההגדרות וחישובי הערכים העתידיים והנוכחיים של תשלום בודד ושל אנונה. ניישם זאת עתה להלוואה עם לוח סילוקין מסוג "שפיצר".

הלוואת משכנתא מסוג "שפיצר" היא בעלת לוח תשלומים הכולל תשלומים חודשיים קבועים. עובדה זו כשלעצמה מעלה שאלה אצל חלק מהלווים: כיצד ייתכן שיתרת החוב יורדת לאורך זמן, אבל התשלום החודשי נותר קבוע?

נחזור למה שלמדנו ברשימה הקודמת. זרם התשלומים החודשי הקבוע מהווה אנונה. ניתן לחשב לזרם זה ערך עתידי, כלומר לקבוע ערך יחיד השקול כלכלית לזרם התשלומים כולו. כדי לעשות זאת עלינו לחשב את הגודל הבא: לו הפקדתי בכל חודש סכום קבוע (A) במשך 20 שנים, והפיקדון היה נושא ריבית שנתית של %i המחושבת בתדר חודשי - מהו הסכום שהיה מצטבר לזכותי בתום התקופה?

התשובה היא:

 

המשכנתא כתכנית חיסכון
עתה עלינו לעשות שינוי בכיוון החשיבה: קלטנו שאם נפקיד סכומים חודשיים בגובה A נקבל כעבור 20 שנים סכום שיאפשר לנו, למשל, לרכוש דירה; העניין הוא שאנו מעוניינים לרכוש את הדירה עכשיו - האם ייתכן שנמשוך את התמורה מראש?

אנו מחברים כאן שתי עיסקאות: את תכנית החיסכון ל-20 שנה עם הלוואה לדיור שתוחזר לכאורה בתשלום יחד - פידיון תכנית החיסכון. למעשה, אנו הופכים את הסדר הכרונולוגי הישן: במקום לחסוך במשך 20 שנים עד שיעמוד לרשותנו סכום שיספיק לרכישת דירה - אנו רוכשים את הדירה עכשיו וחוסכים ב-20 השנים הבאות. כל מה שנדרש הוא שיהיה מישהו שיהיה מוכן להלוות לנו כבר עכשיו את הערך המהוון של הסכום שיעמוד לרשותנו בתום התקופה. לתפקיד זה נכנס בנק המשכנתאות, והופך את הלוואת המשכנתא להלוואה שיש בתוכה תכנית חיסכון מובנית. אבל הנקודה החשובה כאן היא שלמעשה אין הבדל עקרוני בין חיסכון לדיור לבין תשלומים בגין הלוואת משכנתא: שניהם תכניות חיסכון לדיור, וההבדל הוא רק בעיתוי הרכישה של הדירה.

הסכום שנוכל ללות כיום הוא:

העברת הנוסחאות לעולם המשכנתאות
נותרו לנו שני שינויים שיש להכניס בנוסחא כדי להגיע לשפת המשכנתאות המקובלת. הראשון: תשלומי המשכנתא מתבצעים תמיד בסוף התקופה (Ordinary Annuity) ולא בתחילתה, כפי שהנחנו בדוגמא לעיל שעסקה בחיסכון. המשמעות היא שיש לתרגם את התוצאה שקיבלנו למונחי סוף תקופה (הזזה של חודש אחד בעיתוי), כפי שכבר ראינו ברשימה הקודמת בבלוג זה. השינוי השני הוא שיש לתרגם את שמות המשתנים בהם השתמשנו עד כה לשמות הנהוגים בעולם המשכנתאות: תשלום חודשי (PMT) במקום A, הלוואה (PV) במקום B. הצורה שתקבל הנוסחא לעיל היא עתה:

היפוך נוסחא זו יאפשר לנו לחלץ את נוסחת התשלום החודשי:

"קבוע המשכנתא"
נוכל עכשיו להגדיר את היחס בין התשלום החודשי (PMT) לבין גודל ההלוואה (PV):

יחס זה קבוע עבור כל שילוב נתון של ריבית ותקופה, והוא נקרא לכן "קבוע המשכנתא" (Mortgage Constant). זהו הסכום שיש לשלם בכל חודש בגין כל שקל של הלוואה. זהו למעשה הגודל המופיע בלוחות "שפיצר". לדוגמא: בהלוואה לתקופה של 20 שנים הניתנת בשיעור ריבית של 6% קבוע המשכנתא הוא:

זהו התשלום החודשי בגין כל שקל של הלוואה. אם ההלוואה היא בגובה 100,000 ש"ח - התשלום החודשי יהיה 716.43 ש"ח. נסו לחשב והשוו לתוצאה המתקבלת ממחשבון פיננסי או ממחשבוני משכנתא המצויים במספר אתרי אינטרנט. מסקנה: אפשר לחשב את הפרמטרים של הלוואת משכנתא גם ללא סיוע של מחשבונים פיננסיים ייעודיים.

ברור כי גודל קבוע המשכנתא נמצא ביחס ישיר לשיעור הריבית בהלוואה וביחס הפוך לתקופת ההלוואה. ברור גם שאנו יכולים לגזור כל אחד מהגדלים בעיסקה: לחשב לאיזו תקופה יש לקחת את ההלוואה אם מעוניינים שהתשלום החודשי יהיה בגובה מסוים, לחשב מהי ההלוואה המקסימלית שנוכל לקחת אם גובה התשלום החודשי נתון, וכן הלאה.

היפוך כיוון של אנונה: עולם הקיצבאות

אם הבנו שהלוואת משכנתא ותכנית חיסכון הן למעשה מוצרים קרובים - אנונה של תשלומים, כשהלוואת המשכנתא היא חיסכון עם הקדמת הפירות - נוכל להתייחס גם למוצרים סימטריים, הפועלים בכיוון הפוך: מוצרים פיננסיים המבוססים על אנונה של תקבולים.

המוצר הראשון הוא היפוך של תכנית החיסכון: במקום להפקיד כספים כל חודש ולמשוך את הערך העתידי של האנונה בתום התקופה - מפקידים סכום חד-פעמי גדול בתחילת התקופה ומקבלים תמורתו סכומים קבועים של קרן וריבית מידי חודש לתקופה קצובה. זוהי גימלה שאנשים רוכשים כדי ליצור (או להגדיל) זרם תקבולים בתקופה שלאחר הפרישה מעבודה.

המוצר השני הוא המשכנתא ההפוכה: גם כאן הלקוח מקבל קיצבה חודשית, אבל הוא אינו משלם תמורתה מראש אלא בתום התקופה, על-ידי מכירת ביתו, כשלאורך התקופה הבית משועבד למלווה כבטוחה לפירעון ההלוואה.

החישובים בכל המוצרים הפיננסיים דומים: מדובר בחישובי אנונה רגילים, עם הבדלים בכיוון הזרם (תקבולים/תשלומים), בשיעורי הריבית (שיעורי הריבית על הלוואות שונים בד"כ משיעורי הריבית על פיקדונות), ובעיתוי התשלום הגדול (לפני האנונה או אחריה).

המתמטיקה של המשכנתא: ב. היוון של זרם תשלומים

ברשימה הקודמת סקרנו את חישוב הערך העתידי והערך הנוכחי של תשלום בודד. בפרק הנוכחי נראה כיצד מחושבים ערך עתידי וערך נוכחי של זרם תשלומים. מאחר שמטרתנו היא להבין את חישובי המשכנתא מסוג "שפיצר" - נתמקד בזרם תשלומים קבוע.

ערך עתידי

נניח שנפקיד סכום של A ש"ח מידי שנה במשך 20 שנים, וששיעור הריבית השנתי על הפיקדון הוא %i. מהו הסכום שנקבל כעבור 20 שנים?

הנקודה החשובה כאן היא שמדובר ב-20 פיקדונות השונים זה מזה מבחינת תקופת הפיקדון: הסכום שנפקיד בשנה הראשונה יישאר בחשבון (ויישא ריבית) במשך 20 שנה; הסכום שנפקיד בשנה השנייה יישאר בחשבון במשך 19 שנים, וכן הלאה. הסכום שנפקיד בחשבון בתחילת השנה האחרונה יישאר בחשבון שנה אחת בלבד.

כל אחד מהפיקדונות יניב בסוף התקופה סכום שונה, בגלל ההבדלים בתקופת הפיקדון. הסכום הכולל שנקבל מהבנק כעבור 20 שנים יהיה מורכב מסכום כולל של כל הערכים הללו. אם אמרנו ברשימה הקודמת שניתן לחשב לכל פיקדון את הערך העתידי שלו - נאמר כאן שהערך העתידי של זרם ההפקדות כולו שווה לסכום הערכים העתידיים של כל פיקדון ופיקדון.

נסמן זאת כך: הערך העתידי של הפיקדון הראשון, שיישאר בחשבון 20 שנים, הוא

הערך העתידי של הפיקדון השני, שיישאר בחשבון 19 שנים, הוא:

הערך העתידי של הפיקדון השלישי, שיישאר בחשבון 18 שנים, הוא:

וכן הלאה, עד הפיקדון האחרון, שיישאר בחשבון שנה אחת ולכן הערך העתידי שלו הוא:

כעבור 20 שנים נקבל את הסכום B השווה לסכום הערכים העתידיים של כל הפיקדונות:

לא נוכיח זאת כאן, אולם סכום זה שווה לביטוי הבא:

דוגמא מספרית

נניח שאנו פותחים תכנית חיסכון לילדינו ובה אנחנו מפקידים בתחילת כל שנה סכום של  10,000ש"ח, במשך 20 שנים. הריבית השנתית בתכנית חיסכון זו היא 3%. מה יהיה הסכום שנקבל מהבנק כעבור 20 שנים?

התשובה היא 276,764.86 ש"ח:

ערך נוכחי של זרם תשלומים

ראינו שהערך העתידי כעבור 20 שנים של זרם פיקדונות שנתיים בגובה A כששיעור הריבית השנתי הוא %i הוא:

השאלה היא: מהו ערכו הנוכחי של סכום זה? מהו הסכום החד-פעמי שהיינו צריכים להפקיד היום כדי שנקבל את אותה התמורה כעבור 20 שנים?

מהרשימה הקודמת אנו יודעים שהערך הנוכחי של סכום B שישולם בעוד 20 שנים הוא:

או, לאחר לאחר שנציב את הביטוי הקודם:

 

בדוגמה המספרית שלמעלה, הסכום שאותו יש להפקיד היום כדי לקבל 276,765 ש"ח בעוד 20 שנים הוא 153,238 ש"ח.

מושג האנונה (Annuity)

האנונה היא זרם קבוע של תשלומים או תקבולים, המשולמים בהפרשי זמן קבועים (חודש, שנה), למשך תקופת זמן קצובה. תשלומי הפנסיה או קיצבאות למיניהן הם דוגמאות לתקבולים. תשלומי המשכנתא בהלוואת "שפיצר" הם דוגמא לתשלומים.

יש להבחין בין שני סוגי אנונה: זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בסוף התקופה (Ordinary Annuity), ולעומתה זו שבה התשלום (תקבול) נעשה בתחילת התקופה (Annuity Due). משכנתא היא דוגמא לראשון, שכן תשלומי הלווה מתחילים לאחר תקופה אחת (חודש), ולעומתה תכנית החיסכון שראינו היא דוגמא לשני, שכן אנו מתחילים להפקיד סכומי כסף כבר במועד פתיחת התכנית.

קיים הבדל חישובי פשוט בין שני הסוגים: מאחר שמדובר בהפרש של תקופה אחת בעיתוי התשלומים - קיים הפרש של תקופה אחת בצבירת הריבית. לכן הערך העתידי (או הנוכחי) של אנונה שבה התשלומים מתבצעים בתחילת התקופה יהיה גדול פי (1+i) מזה של האנונה שבה התשלומים מתבצעים בסוף התקופה.

החישוב כאשר תדר ההתשלום הוא חודשי

הדוגמאות לעיל הניחו לשם פשטות שמדובר בתדר שנתי. כדי לעבור לתדר מציאותי יותר - זה החודשי - נידרש להכניס שני שינויים עקרוניים בחישובים: מספר התקופות יגדל פי 12, ושיעור הריבית  יחולק בהתאם ל-12. בדוגמא שלנו מדובר כעת ב-240 תשלומים חודשיים של 833.33 ש"ח כ"א, ובריבית חודשית של 0.25%.

נקודה מעניינת היא שהריבית בהלוואות משכנתא אכן מחושבת על בסיס חודשי. חוב בסכום של 1 ש"ח כשהריבית החודשית היא  3:12=0.25%  יגדל כעבור שנה ל- 1.030416 ש"ח. המשמעות היא שכאשר ריבית שנתית 3% מחושבת מידי חודש - הריבית האפקטיבית גבוהה יותר, והיא 3.0416%. עובדה זו נדרשים הבנקים להביא לידיעת הלווים, והם חייבים בכל חוזה עם הלקוח לציין גם את הריבית השנתית וגם את הריבית האפקטיבית. בידקו בחוזה המשכנתא ותמצאו אותה שם.

הנוסחה הכללית של הריבית האפקטיבית, כאשר הריבית השנתית היא %i ותדר הריבית הוא חודשי, היא:

המתמטיקה של המשכנתא: א. היוון של סכום יחיד

למרות שלרוב משקי הבית בישראל יש הלוואת משכנתא, וכולם היו צריכים להבין, לפחות ברמה כללית, מהו הבסיס החישובי שעל-פיו התשלומים נקבעים – הנושא כולו אפוף באווירה של מסתורין. הלווים אינם מבינים כיצד הגדלים השונים מתחברים: התשלום החודשי, ההחזר החודשי של הקרן, תשלום הריבית ויתרת החוב כעבור תקופה.

המסתורין מביא לאי-הבנה, ולנכונות לאימוצן של אמיתות מופרכות. כך אנו שומעים טענות כמו: "יתרת חוב המשכנתא אינה יורדת לאורך זמן למרות התשלומים החודשיים", או: "בהלוואת משכנתא עם תשלומים קבועים של קרן וריבית משלמים בשנים הראשונות רק את הריבית, ורק בשנים האחרונות משלמים את הקרן", ואפילו: "לא כדאי לסלק את יתרת החוב בסילוק מוקדם כי אז ממילא כבר שילמנו את כל הריבית על כל התקופה". ברשימה זו ננסה להבין את המתמטיקה הבסיסית של המשכנתא מסוג "שפיצר" ולפזר את הערפל.

כדי שלא להרתיע את הקוראים, נחלק את הרשימה לפרקים. הפרק הראשון מציג מושגי יסוד בהיוון: את חישובי הערך הנוכחי/הערך העתידי של סכום יחיד. בפרקים הבאים נפתח בהדרגה את החישובים המלאים של המשכנתא.

היוון של סכום יחיד

ערך עתידי

אנו חיים בעולם שבו לעיתוי שבו מתבצע התשלום יש משמעות כלכלית, הבאה לידי ביטוי בשיעור הריבית. אם נפקיד סכום של A ₪ למשך שנה אחת בפיקדון הנושא ריבית שנתית בשיעור של %i, נקבל כעבור שנה מהבנק את הסכום B, המחושב כך:

אנו אומרים לכן ש-B הוא הערך העתידי של סכום A המופקד לתקופה של שנה בריבית %i.

אם ההפקדה היא לתקופה ארוכה משנה אחת, והמפקיד אינו מקבל תשלום שוטף של ריבית (כלומר: הריבית נצברת), אזי גם הקרן וגם הריבית מושקעות מחדש לתקופה נוספת. לדוגמא, אם הפיקדון A יהיה לתקופה של שנתיים – נקבל מהבנק כעבור שנתיים סכום של:

זהו מה שקרוי "ריבית דריבית". בהתאמה, אם הפיקדון הוא לתקופה של n שנים – הסכום שנקבל מהבנק כעבור n שנים יהיה הפיקדון המקורי (A) מוכפל n פעמים בגורם (1+i). אנו אומרים לכן שהערך העתידי של סכום A המופקד למשך n שנים בריבית %i  הוא:

ערך נוכחי

אפשר גם להפוך את כיוון החשיבה: מהו הסכום A שיש להפקיד היום בחשבון הנושא ריבית שנתית בשיעור %i כדי לקבל בעוד שנה סכום של B? 


התשובה היא:

אנו אומרים לכן ש-A הוא הערך הנוכחי של סכום B שישולם בעוד שנה.

אם התשלום הוא כעבור שנתיים, נדרש להפקיד סכום A קטן יותר כיום כדי להגיע ל-B. הסכום הנדרש כיום הוא:

בהתאם, הסכום שיש להפקיד היום כדי לקבל סכום של B  בעוד n שנים הוא:

דוגמאות

עם תובנות אלו, נוכל לענות על שאלות מהסוג הבא:

שאלה 1: אם נפקיד 5,000 ₪ בפיקדון הנושא שיעור ריבית שנתי של 3%, מהו הסכום שיעמוד לרשותנו כעבור 20 שנים?

התשובה היא 9,031 ש"ח:

שאלה 2: אם אנו זקוקים לסכום בגובה 5,000 ₪ שיעמוד לרשותנו בעוד 20 שנים ושיעור הריבית הוא 3% - מהו הסכום שעלינו להפקיד כיום בבנק?

התשובה היא 2,768 ש"ח: